参考教材章节
- 5.1 特征向量与特征值
- 5.2 特征方程
- 5.3 对角化
- 5.4 特征向量与线性变换
- 5.6 离散动力系统
- 4.9 马尔可夫链中的应用
课后作业
1.$\begin{bmatrix}-1+\sqrt{2}\\1\end{bmatrix}$是 $\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}$ 的特征向量吗？如果是，求对应的特征值
2.$\lambda = 4$ 是 $\begin{bmatrix}3&0&-1 \\ 2&3&1 \\ -3&4&5 \end{bmatrix}$ 的特征值吗？如果是，求$\lambda$对应的一个特征向量
3.求所给特征值对应的特征空间的一个基
$$
A=\begin{bmatrix}1&0&-1 \\ 1&-3&0 \\ 4&-13&1\end{bmatrix},\lambda = -2
$$
4.求下列矩阵的特征值
$$
\begin{bmatrix}5&0&0&0\\8&-4&0&0\\0&7&1&0\\1&-5&2&1\end{bmatrix}
$$
5.设$A=\begin{bmatrix}0.6&0.3\\0.4&0.7\end{bmatrix},\nu_1=\begin{bmatrix}3/7\\4/7\end{bmatrix},x_0=\begin{bmatrix}0.5\\0.5\end{bmatrix}$
$\quad \quad$ a. 求$R^2$的一个基，基由$\nu_1$和 $A$ 的另一个特征向量组成.
$\quad \quad$ b. 证明$x_0$可以写成$x_0=\nu_1+c\nu_2$
$\quad \quad$ c. 定义$x_k=A^kx_0,k=1,2,\cdots$，证明当$k$增大时，$x_k\to \nu_1$
6.对矩阵$A=\begin{bmatrix}1&0\\6&-1\end{bmatrix}$进行对角化，并且求出$A^8$
7.证明若A可对角化且可逆，则$A^{-1}$亦可对角化
8.构造一个非零的$2\times 2$的可逆但不可对角化的矩阵
9.设$B={b_1,b_2,b_3} $ 是向量空间$V$的基，$T:v\to R^2$是线性变换.
$$
T(x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3)=\begin{bmatrix}2x_1-4x_2+5x_3\\-x_2+3x_3\end{bmatrix}
$$
$\quad \quad$ 求 $T$ 相对于$B$ 和 $R^2$ 的标准基的矩阵.
10.设$A=\begin{bmatrix}0.4&0&0.2\\0.3&0.8&0.3\\0.3&0.2&0.5\end{bmatrix}$向量$\nu_1 = \begin{bmatrix}0.1\\0.6\\0.3\end{bmatrix}$是 $A$ 的特征向量,并且其两个特征值是$0.5$ 与 $0.2$ ,求动力系统$x_{k+1} = Ax_k$满足$x_0=(0,0.3,0.7)$的解，当$x\to \infty$时，$x_k$会如何？