线性代数4——线性方程组及其解的结构

Posted by Samson Yuen on 2023-11-27
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参考教材章节

  • 1.1 线性方程组
  • 1.2 行化简与阶梯形矩阵
  • 1.3 向量方程
  • 1.4 矩阵方程$Ax=b$
  • 1.5 线性方程组的解集

课后作业

  1. 解下列方程组,并给出解集的几何解释

$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
x_1+3x_2-5x_3 &= 4\\
x_1+4x_2-8x_3&= 7\\
-3x_1-7x_2+9x_3& = -6
\end{cases}
\end{aligned}
$$





  1. 证明定理:
    $$
    \begin{aligned}
    &a. 设p是Ax=b的解,即Ap=b.设\nu_h为Ax=0的解,w = p+\nu_h,证明w是Ax=b的解 \\
    &b. 设w是Ax=b的任意解,定义\nu_h=w-p,证明\nu_h是Ax=0的解.
    \end{aligned}
    $$





  1. 构造一个$2\times 2$矩阵$A$,使方程$Ax=0$的解集是一条经过点$(4,1)$和原点的$R^2$中直线,随后在$R^2$中找向量$b$使 $Ax=b$ 的解集不是$R^2$中平行于$Ax=0$的解集的直线,为什么这于上一题中所要证明的定理没有矛盾





  1. 设$A$是矩阵,$y$是 $R^2$ 中的一个向量,且方程$Ax=y$无解,讨论是否存在$R^3$ 中的一个向量$z$,使得方程$Ax=z$ 有唯一解?





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