泰勒/麦克劳林展开的一般形式
$$
\begin{aligned}
&带有皮亚诺余项的泰勒展开\\
&\qquad \qquad f(x) = f(x_0) + f(x_0)^\prime(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),\\
&\qquad \qquad R_n(x) =o((x-x_0)^n)\\
\\
\\
&带有拉格朗日余项的泰勒展开\\
&\qquad \qquad f(x) = f(x_0) + f(x_0)^\prime(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),\\
&\qquad \qquad R_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\\
\\
\\
&带有皮亚诺余项的麦克劳林展开\\
&\qquad \qquad f(x) = f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\\
\\
\\
&带有拉格朗日余项的麦克劳林展开\\
&\qquad \qquad f(x) = f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1},\theta \in (0,1)\\
\end{aligned}
$$
常用泰勒展开
$$
\begin{aligned}
&[1].\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+ \cdots = \sum^{\infty}_{n=0}x^n &&x \in (-1,1)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&[2].\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots = \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^nx^n &&x \in (-1,1)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&[3]. e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} &&x\in (-\infty,+\infty)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&[4]. \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+ \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} && x\in (-\infty,+\infty)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&[5]. \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&x\in (-\infty,+\infty)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&[6]. \tan^{-1}x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} && x\in [-1,1]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&[7]. \ln(x+1) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} && x\in (-1,1]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&[8]. (1+x)^\alpha = 1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} C_n^\alpha x^n && x \in (-1,1),\alpha \in R
\end{aligned}
$$
参考教材章节
- 3.3 泰勒公式
课后作业
- 求函数$f(x)=\ln x$按 $(x-2)$ 的幂展开的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式。
- 求函数$f(x)=xe^x$的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。
- 求函数$f(x)=\frac{1}{x}$按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式。
- 利用泰勒公式求下列极限
$$
\begin{aligned}
&(1).\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-e^{\frac{x^2}{2}}}{x^2[x+\ln(1-x)]} &&(2). \lim_{x\to \infty}[x-x^2\ln(1+\frac{1}{x})]
\end{aligned}
$$