洛必达法则的使用注意事项
首先，不管是$\frac00$还是$\frac\infty\infty$的不定型，在$x\to 0,x \to a,x \to \infty $时都是可以使用洛必达法则的，其核心要义在于：
$$
\lim_{x\to some point} \frac{h(x)}{g(x)} = \lim_{x \to somepoint} \frac{h^\prime(x)}{g^\prime(x)}
$$
但是这个式子并不保证永远正确，当$\frac{h^\prime(x)}{g^\prime(x)}$的极限存在或者无穷大时（包括左右极限分别趋向正负无穷）洛必达法则是适用的，但当$\frac{h^\prime(x)}{g^\prime(x)}$的极限是跳跃的或者是振荡时，洛必达法则就不再适用，典型的例子就是$\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}$，这个不定型的极限显然是存在的，但对其使用洛必达法则就会产生错误。所以洛必达法则到底能不能用，要先用了再说。
参考教材章节
- 3.2 洛必达法则
课后作业
- 求下列极限
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{\sec x- \cos x} \qquad \lim_0 x^2e^{1/x^2} \qquad \lim_{x\to 0^+} x^{\sin x}
$$
- 验证极限$\lim_{x\to 0}\frac{x^2 \sin{\frac1x}}{\sin x}$存在，但不能用洛必达法则的出
- 讨论函数
$$
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}
[\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}]^{\frac1x} & x>0 \\
e^{-\frac12} & x \le 0
\end{cases}
\end{equation*}
$$
在$x=0$处的连续性