含参变量的积分
积分$\int_c^d f(x,y) dy$的值会随着$x$的改变而改变，因此该积分是一个关于$x$的函数，即
$$
\begin{equation}
\varphi(x) = \int_c^d f(x,y) dy
\end{equation}
$$
上式中积分限 $c$ 与 $d$ 都是常数，但在实际应用中还会遇到对于参变量 $x$ 的不同的值,积分限也不同的情形,即
$$
\begin{equation}
\Phi(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
\end{equation}
$$
我们称之为函数$f(x,y)$的含参变量的积分。
含参变量积分的性质
性质1: 如果函数 $f(x, y)$ 在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$ 上连续,那么由积分 $(1)$ 确定的函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上也连续。
性质2: 如果函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $f_x(x, y)$ 都在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$上连续, 那么由积分 $(1)$ 确定的函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微分, 并且
$$
\varphi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y=\int_c^d f_x(x, y) \mathrm{d} y .
$$
性质3: 如果函数 $f(x, y)$ 在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$ 上连续, 函数 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续, 且
$$
c \leqslant \alpha(x) \leqslant d, c \leqslant \beta(x) \leqslant d \quad(a \leqslant x \leqslant b),
$$
那么由积分 $(2)$ 确定的函数 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上也连续.
性质4: 如果函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $f_x(x, y)$ 都在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$上连续, 函数 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 都在区间 $[a, b]$ 上可微, 且
$$
c \leqslant \alpha(x) \leqslant d, c \leqslant \beta(x) \leqslant d \quad(a \leqslant x \leqslant b),
$$
那么由积分 $(5-7)$ 确定的函数 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微, 且
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Phi^{\prime}(x) & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\alpha(x)} ^{\beta(x)} f(x, y) \mathrm{d} y \
& =\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(x, y) \mathrm{d} y+f[x, \beta(x)] \beta^{\prime}(x)-f[x, \alpha(x)] \alpha^{\prime}(x) .
\end{aligned}
\end{equation}
$$
公式$(3)$也叫做莱布尼茨公式。
参考教材章节
- 10.5 含参变量的积分
课后作业
- 求下列含参变量的积分所确定的函数的极限:
$$
\begin{aligned}
&(1). \lim _{x \to 0} \int_x^{1+x} \frac{\mathrm{d} y}{1+x^2+y^2}; &&(2). \lim _{x \rightarrow 0} \int_0^2 y^2 \cos (x y) \mathrm{d} y.
\end{aligned}
$$
- 设 $F(x)=\int_0^x(x+y) f(y) \mathrm{d} y$, 其中 $f(y)$ 为可微分的函数, 求 $F^{\prime \prime}(x)$.
- 计算下列积分:
$$
\begin{aligned}
&(1). \int_0^1 \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^2}}
&&(2). \int_0^1 \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \frac{x^b-x^a}{\ln x} \mathrm{~d} x \quad(0<a<b).
\end{aligned}
$$