二重积分的换元法
设$f(x, y)$ 在 $x O y$ 平面上的闭区域 $D$ 上连续, 若变换
$$
T: x=x(u, v), y=y(u, v)
$$
将 $u O v$ 平面上的闭区域 $D^\prime$ 变为 $x O y$ 平面上的 $D$, 且满足
- $x(u, v), y(u, v)$ 在 $D^{\prime}$ 上具有一阶连续偏导数;
- 在 $D^{\prime}$ 上雅可比式
$$
J(u, v)=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0 ;
$$
- 变换 $T: D^{\prime} \rightarrow D$ 是一对一的,
则有
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} f[x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$
上式就是二重积分的换元公式，该公式可以推广到$n$重积分的情况。
参考教材章节
- 10.1 二重积分的计算法
课后作业
- 作适当的变换, 计算下列二重积分:
$\iint_D x^2 y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 是由两条双曲线$xy=1$ 和 $x y=2$, 直线 $y=x$ 和 $y=4 x$ 所围成的在第一象限内的闭区域;
- 求由下列曲线所围成的闭区域 $D$ 的面积:
$D$ 是由曲线 $y=x^3, y=4 x^3, x=y^3, x=4 y^3$ 所围成的第一象限部分的闭区域.
- 证明如下不等式
$\iint_D f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^1 f(u) \mathrm{d} u$, 其中闭区域 $ D= { (x, y)| |x|+|y| \leq 1 } $;