极坐标下的重积分公式
$r$型区域
当连续函数$z=f(x,y)$的积分区域可用极坐标表示为
$$
D = { (r,\theta)|\alpha \leq \theta \leq \beta, h_1( \theta )\leq r \leq h_2( \theta )}
$$
时候，则有
$$
\iint_D f(x,y) dA = \int_\alpha ^\beta \int_{h1( \theta )} ^{h_2( \theta )} f(r\cos \theta,\sin \theta)r dr d\theta
$$
$\theta$型区域
当连续函数$z=f(x,y)$的积分区域可用极坐标表示为
$$
D = { (r,\theta)|h_1( r )\leq \theta \leq h_2( r ) , a \leq r \leq b}
$$
时候，则有
$$
\iint_D f(x,y) dA = \int_{h_1( r )} ^{h_2( r )} \int_a^b f(r\cos \theta,\sin \theta)r dr d\theta
$$
参考教材章节
- 《Calculus》 15.3 Double Intergrals in Polar Coordinates
课后作业
- 求出圆锥体$z=1-x^2-y^2$与平面$z=0$围成的几何体体积。
- 求出由函数$r=\cos 2\theta$确定的图形的面积.
- 求出平面$x_oy$，圆柱体$x^2+y^2=2x$，抛物面$z=x^2+y^2$所围合的几何体体积。