微积分30——拉格朗日乘数法

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04
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单个约束下的条件极值

当我们想要计算函数$f(x_1,x_2\cdots x_n)$在超等势面$g(x_1,x_2\cdots x_n)=k$的约束下的极值,则其计算步骤为

  1. 解方程组

    $$
    \begin{equation}
    \begin{cases}
    \nabla f(x_1,x_2\cdots x_n) &= \lambda \nabla g(x_1,x_2\cdots x_n)\\
    g(x_1,x_2\cdots x_n) &= k
    \end{cases}
    \end{equation}
    $$

    求出$x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda$ .

  2. 将求解得到的$x_1,x_2,\cdots,x_n,y,\lambda$代入函数$f(x_1,x_2\cdots x_n)$,比较最大值与最小值。

需要注意的是,拉格朗日乘数法得到的解并不一定是极值点,判断得到的点是否为极值点需要根据实际情况具体分析

多个约束下的条件极值

当我们想要计算函数$f(x_1,x_2\cdots x_n)$在超等势面$g_1(x_1,x_2\cdots x_n)=k_1,g_2(x_1,x_2\cdots x_n)=k_2,\cdots g_m(x_1,x_2\cdots x_n)=k_m,(m<n)$的约束下的极值,则其计算步骤为:

  1. 解方程组

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla f(x_1,x_2\cdots x_n) &= \lambda_1 \nabla g_1(x_1,x_2\cdots x_n)+\cdots +\lambda_m \nabla g_m(x_1,x_2\cdots x_n) \\
g_1(x_1,x_2\cdots x_n) &= k_1\
&\vdots\\
g_m(x_1,x_2\cdots x_n) &= k_m\\
\end{cases}
\end{equation}
$$

求出$x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\cdots \lambda_m$ .

  1. 将求解得到的$x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\cdots \lambda_m$代入函数$f(x_1,x_2\cdots x_n)$,比较最大值与最小值。

参考教材章节

  • 《Calculus》 14.8 Lagrange Multipliers

课后作业

  1. 求函数$f(x,y)=x^2+2y^2$在约束条件$x^2+y^2=1$下的条件极值。





  1. 求球面$x^2+y^2+z^2=4$上距离点$P(3,1,-1)$最近和最远的点。





  1. 求函数$f(x,y,z)=x+2y+3z$满足如下方程组的约束条件下的极值

$$
\begin{equation*}
\begin{cases}
x-y+z&=1\\
x^2+y^2&=1
\end{cases}
\end{equation*}
$$





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