常用等价无穷小
$$
\begin{aligned}
&[1]. \quad \sin x\sim x \quad (x\to 0) &&[2]. \quad \tan x \sim x \quad (x\to 0)
\\
&[3]. \quad \arcsin x \sim x \quad (x\to 0) &&[4]. \quad 1-\cos x \sim \frac12 x^2 \quad (x\to 0)\\
&[5]. \quad (1+x)^\alpha \sim \alpha x \quad (x\to 0) \quad \alpha \in R &&[6]. \quad e^x -1 \sim x \quad (x\to 0)\\
&[7]. \quad \ln (1+x)\sim x \quad (x\to 0) \\
\end{aligned}
$$
重要极限
$$
\begin{aligned}
&[1]. \quad \lim_{x\to \infty}(1+\frac1x)^x = \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e &&[2]. \quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}= 1\\
\end{aligned}
$$
教材参考章节
- 1.4 无穷小与无穷大
- 1.5 极限运算法则
- 1.6 两个重要极限
- 1.7 无穷小的比较
课后作业
- 计算下列极限
$$
\begin{aligned}
&(1). \quad \lim_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1} && (2). \quad \lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2} \\
&(3).\quad \lim_{x\to 0}x^2 \sin\frac 1x &&(4). \quad \lim_{x\to \infty}(\frac{1+x}{x})^{2x}\\
&(5).\quad \lim_{x\to 0}\frac{\tan 3x}{x} && (6).\quad \lim_{x\to \infty}(1-\frac1x)^{kx}\\
&(7). \quad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)} &&(8). \quad \lim_{x \to 0}\frac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x}
\end{aligned}\\
$$