多元函数极值存在的判断条件
设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某领域内存在连续的二阶偏导数且$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$（$x_0,y_0$为驻点）,则设
$$
D = D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2
$$
- a) 如果$D>0$并且$f_{xx}(x_0,y_0)>0$,则$f(x_0,y_0)$是一个极小值。
- b) 如果$D>0$并且$f_{xx}(x_0,y_0)<0$,则$f(x_0,y_0)$是一个极大值。
- c) 如果$D<0$,则$f(x_0,y_0)$既不是极大值也不是极小值,$(x_0,y_)$是一个鞍点。
- d) 如果$D=0$,不能得出任何结论，即$f(x_0,y_0)$有可能是极值，也可能不是，需要具体分析。
参考教材章节
- 《Calculus》 14.7 Maximum and Minimum Values
课后作业
- 找到平面$x+2y+z=4$上距离点$(1,0,-2)$最近的点，并且算出该最近距离
- 一个没有顶盖的长方体盒子的总面积为$12m^2$，求该盒子可能的最大体积
- 找到函数$f(x,y)=x^2+y^2+x^2y+4$在闭区域$D={(x,y)||x|\leq 1,|y| \leq 1 }$上的最大值和最小值。