梯度的几何意义
设三元函数的等势面$F(x,y,z)=k$上有一点$P(x_0,y_0,z_0)$,现有过点$P$且存在于该等势面上的某曲线$C$,其方程用向量函数表示为$r(t)=<x(t),y(t),z(t)>$。又设当$t=t_0$时有$r(t_0)=P(x_0,y_0,z_0)$。由于$C$位于等势面上，故$C$上的任意一点$(x(t),y(t),z(t))$必定满足等势面方程，即
$$
F(x(t),y(t),z(t))=k
$$
以上是一个关于$t$的复合函数，当$x,y,z$对 $t$ 可导且$F$对 $x,y,z$ 可微时，可用多元函数复合求导公式得：
$$
\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0
$$
上式又可以变成点积形式:
$$
\nabla F\cdot r^\prime(t) = 0
$$
当$t=t_0$时，可得
$$
\nabla F(x_0,y_0,z_0) \cdot r^\prime(t0) =0
$$
这说明，等势面$F$在P点的梯度向量与曲线C在P点的切向量是垂直的；又由于C是过P点的任意曲线。因此不难推知：函数$F$在P点的梯度向量与该函数在P点任意方向的切向量垂直，即梯度向量垂直于切平面，利用空间中平面方程可得切平面方程为
$$
F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0
$$
函数$z=f(x,y)$既可以看成是一个三维空间中的二元函数，也可以看成是三元函数$F(x,y,z)=z-f(x,y)$在 $k=0$ 时的等势面，在这种情况下，使用上述等势面切平面公式，可得此时$\frac{\partial F}{\partial x}=-f_x(x,y),\frac{\partial F}{\partial y}=-f_y(x,y),\frac{\partial F}{\partial z}=1$，故可得
$$
-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)+1\cdot (z-z_0) = 0
$$
这就是过去所推过的二元函数切平面的方程。
参考教材章节
- 《Calculus》 14.6 Directional Derivatives and Gradient Vector
课后作业
- 求函数 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,2)$ 处沿从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数
- 求函数 $z=\ln (x+y)$ 在抛物线 $y^2=4 x$ 上点 $(1,2)$ 处, 沿着这抛物线在该点处偏向 $x$ 轴正向的切线方向的方向导数.
- 求函数 $u=x y^2+z^3-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向角为 $\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}, \gamma=\frac{\pi}{3}$ 的方向的方向导数.
- 求函数 $u=x+y+z$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.
- 求函数 $u=x y^2 z$ 在点 $P_0(1,-1,2)$ 处变化最快的方向, 并求沿这个方向的方向导数.