多元复合函数求导的两种基本类型
多元函数与一元函数的复合
设$z=f(x,y)$是关于$x,y$的函数且具有连续偏导数,其中$x=h(t),y=g(t)$是关于$t$的可导函数,则函数$z=f(h(t),g(t))$关于$t$可导且
$$
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}
$$
多元函数与多元函数的复合
设$z=f(x,y)$是关于$x,y$的函数且具有连续偏导数,其中$x=h(s,t),y=g(s,t)$是关于$s,t$的函数且具有连续偏导数,则
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} &&
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}
\end{aligned}
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参考教材章节
- 《Calculus》 14.5 The Chain Rule
课后作业
- 设$z= \arctan(xy),y=e^x$,求$\frac{dz}{dx}$
- 求下列函数的一阶偏导数(其中$f$具有一阶连续偏导)
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\begin{aligned}
&(1). \mu =f(x^2-y^2,e^{xy}) &&(2). \mu = f(\frac xy,\frac y z)\\&(3). \mu = f(x,xy,xyz)
\end{aligned}
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- 设$z=f(x^2+y^2)$,其中$f$具有二阶导数,求$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
- 设$z=f(\sin x ,\cos y,e^{x+y})$,且$f$具有二阶连续偏导数,求$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$