切平面的推导
若函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y,z)$处存在偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$，则由其偏导数切线确定且包含$z=f(x,y)$上任一经过点$P(x,y,z)$的曲线的切线的平面称为函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y,z)$的切平面。函数在某点存在切平面，则意味着其在该点处是平滑的,也就是沿任何方向可导。
设经过点$P(x_0,y_0,z_0)$的切平面方程为
$$
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0
$$
对其进行变形后，可得
$$
z-z_0= -\frac A C (x-x_0)-\frac B C (y-y_0)
$$
当$y=y_0$时候，方程$z-z_0 = -\frac A C(x-x_0)$表示一条经过点$P(x_0,y_0,z_0)$且在$x_Oy$平面上的投影平行于$x$轴的直线，显然这条直线就是由$\frac{\partial z}{\partial x}$确定的切线。因此可知$\frac{z-z_0}{x-x_0}=-\frac A C = \frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x_0,y_0)$。同理，$\frac{z-z_0}{y-y_0}=-\frac B C = \frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x_0,y_0)$。于是过点$P(x_0,y_0,z_0)$的切平面表达式为：
$$
z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
$$
全微分
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某领域内有定义，且函数在该点的全增量
$$
\Delta z= f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)
$$
可以表示为
$$
\Delta z = A\Delta x + B \Delta y + \varepsilon_1\Delta x+ \varepsilon_2\Delta y
$$
其中 $A$ 与 $B$ 为固定常数， $\varepsilon_1$与 $\varepsilon_2$ 为与无穷小量。则称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微分，而$A\Delta x + B \Delta y$则称为是函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分，记作$dz$，即
$$
dz = A\Delta x + B \Delta y
$$
- 可微的必要条件： 若函数在某点可微，则函数在该点的偏导数必然存在且其全微分可写为$dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$
-
证： 若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微分，则有
$$
\Delta z = A\Delta x + B \Delta y + \varepsilon_1\Delta x+ \varepsilon_2\Delta y
$$令$\Delta y =0$，则有
$$
\Delta z = f(x+\Delta x,y)-f(x,y) = A\Delta x+ \varepsilon_1\Delta x
$$成立，对其两端除以$\Delta x$后取极限得
$$
f_x(x,y) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}A + \varepsilon_1 = A
$$同理可得$f_y(x,y) = B$。于是有
$$
\Delta z = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+ \varepsilon_2\Delta y
$$证毕。
-
切平面存在与可微分的等价关系
函数在某点的切平面存在与在该点可微分是等价的，即
$$
切平面存在 \Leftrightarrow 可微分 \overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow} 偏导数存在\overset{\nRightarrow}{\nLeftarrow} 连续 \overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow}极限存在
$$
充分性的证明: 若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微分，则有
$$
\Delta z = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+ \varepsilon_2\Delta y
$$
成立，其中
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y
$$
恰好是过点$(x,y,z)$的切平面方程，因此我们可以说在函数可微分的定义中蕴涵了切平面方程，故可微分必切平面存在，并且可以发现由于$\Delta z - dz = \varepsilon_1\Delta x+ \varepsilon_2\Delta y = o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$,故此可以发现当函数可微分时，可使用切平面方程做出从$(x,y)$到 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 的线性近似，效果是极其良好的。
必要性的证明：
当函数$z=f(x,y)$在点$(x,y,z)$存在切平面时，记切平面在$(x+\Delta x,y+\Delta y)$的对应坐标为$(x+\Delta x,y+\Delta y,\hat{z})$,则此时使用切平面从点从$(x,y)$到 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$的线性增量$dz$和函数全增量$\Delta z$分别为
$$
dz = \hat{z}-z = f_x(x,y)\Delta x + f_y(x,y)\Delta y; \qquad \Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)
$$
记二者的差值为$e$，则有
$$
f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) = f_x(x,y)\Delta x + f_y(x,y)\Delta y+e
$$
对上式两端同除以$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$后取极限,得
$$
\begin{aligned}
\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = &\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y \to 0}\frac{f_x(x,y)\Delta x + f_y(x,y)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}+\\ &\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y \to 0}\frac{e}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} }
\end{aligned}
$$
上式中左边项显然等于函数沿着$\begin{bmatrix}\Delta x\\ \Delta y\end{bmatrix}$方向的导数，由于此时是存在切平面的，故也等于切平面中沿着此方向的切线的斜率。上式中右边第一项则表示从点$(x,y,z)$到点$(x+\Delta x,y+\Delta y,\hat{z})$的割线斜率，由于该两点均存在于切平面上，因此可得
$$
\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = \lim_{\Delta x\to 0,\Delta y \to 0}\frac{f_x(x,y)\Delta x + f_y(x,y)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}
$$
故可推知
$$
\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y \to 0}\frac{e}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} } = 0
$$
即:
$$
e = o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})
$$
故最终可得:
$$
f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) = f_x(x,y)\Delta x + f_y(x,y)\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})
$$
上式正是函数可微分的严格定义，因此必要性证毕。
函数可微分的充分条件
函数某一点上可微分的充分条件是函数的偏导数在该点是连续的，当偏导数不连续时，则有可能造成在该点不可微的情况出现，例子如下,函数
$$
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2} & x^2+y^2\neq 0\\
0 & x=y=0
\end{cases}
\end{equation*}
$$
在$(0,0)$处的偏导数均存在且为$0$，但不难证明该函数在$(0,0)$点的偏导数是不连续的，此时虽然可以形式的写出其微分$dz = 0\Delta x+0\Delta y=0$,但在沿着直线$y=x$趋向于$(0,0)$时，显然$\Delta z -dz = \frac 12 - 0 = \frac 12 \neq o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) $,故函数在点$(0,0)$不可微。
充分性的证明： 由假定, 函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $P(x, y)$ 的某邻域内存在. 设点 $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 为这邻域内任意一点, 考察函数的全增量
$$
\begin{aligned}
\Delta z & =f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y) \\
& =[f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)]+[f(x, y+\Delta y)-f(x, y)]
\end{aligned}
$$
在第一个方括号内的表达式, 由于 $y+\Delta y$ 不变, 因而可以看做是 $x$ 的一元函数 $f(x, y+\Delta y)$ 的增量. 于是, 应用拉格朗日中值定理, 得到
$$
f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)=f_x\left(x+\theta_1 \Delta x, y+\Delta y\right) \Delta x \quad\left(0<\theta_1<1\right) .
$$
又依假设, $f_x(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 连续, 所以上式可写为
$$
f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)=f_x(x, y) \Delta x+\varepsilon_1 \Delta x,
$$
其中 $\varepsilon_1$ 为 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 的函数, 且当 $\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0$ 时, $\varepsilon_1 \rightarrow 0$
同理可证第二个方括号内的表达式可写为
$$
f(x, y+\Delta y)-f(x, y)=f_y(x, y) \Delta y+\varepsilon_2 \Delta y,
$$
其中 $\varepsilon_2$ 为 $\Delta y$ 的函数, 且当 $\Delta y \rightarrow 0$ 时, $\varepsilon_2 \rightarrow 0$.
由 $(3-4) 、(3-5)$ 两式可见, 在偏导数连续的假定下, 全增量 $\Delta z$ 可以表示为
$$
\Delta z=f_x(x, y) \Delta x+f,(x, y) \Delta y+\varepsilon_1 \Delta x+\varepsilon_2 \Delta y .
$$
这就是可微分的严格定义，因此充分性证毕。
参考教材章节
- 《Calculus》 14.4 Tangent Plane and Linear Approximations
课后作业
- 计算函数$z=e^{xy}$ 在$x=1,y=1,\Delta x=0.15,\Delta y = 0.1$时候的全微分
- 计算$\sqrt{3.02^2+1.97^2+5.99^2}$的近似值
- 若函数$z=f(x,y)$在点$(a,b)$处可微分。证明：$z=f(x,y)$在点$(a,b)$处连续