函数组的线性相关性
设 $y_1(x),y_1(x)\cdots y_n(x)$ 为定义在区间$I$上的$n$个函数，如果存在$n$个不全为零的常数$k_1,k_2 \cdots k_n$,使得当$x\in I$时恒有
$$
\begin{equation*}
k_1y_1+k_2y_2 + \cdots + k_ny_n \equiv 0
\end{equation*}
$$
成立，则称该函数组在区间$I$上线性相关，否则称为线性无关
线性微分方程解的结构
如果$y_1(x),y_2(x),\cdots , y_n(x)$是$n$阶线性齐次方程
$$
\begin{equation*}
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_n(x)y = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad (1)
\end{equation*}
$$
的$n$个线性无关的特解，那么此方程的通解为
$$
\begin{equation*}
y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots + C_ny_n(x)
\end{equation*}
$$
如果$y^*(x)$是$n$阶非齐次线性方程
$$
\begin{equation*}
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_n(x)y = f(x) \qquad\qquad\qquad\qquad (2)
\end{equation*}
$$
的一个特解，$Y(x)$是 $(1)$ 的通解，则$(2)$的通解为
$$
\begin{equation}
y= Y(x)+y^*(x)
\end{equation}
$$
二阶齐次常系数线性微分方程
我们把形如
$$
\begin{equation*}
y^{\prime\prime} +P(x)y^\prime+Q(x)y = 0
\end{equation*}
$$
的方程称为二阶齐次常系数线性微分方程，其通用解法步骤如下：
- 写出微分方程的特征方程 $r^2+pr+q=0$
- 求出特征方程的两个根$r_1,r_2$
- 根据$r_1,r_2$的不同情况，按照下表求其通解
| $r^2+pr+q=0$的根$r_1,r_2$ | $y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0$通解 |
|---|---|
| $r_1 \neq r_2$ | $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ |
| $r_1=r_2$ | $y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$ |
| $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i,\alpha=-\frac{p}{2},\beta = \frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$ | $e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x+C_2 \sin \beta x)$ |
对于$n$阶的常系数线性方程
$$
\begin{equation*}
y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y^\prime+p_ny = 0
\end{equation*}
$$
其特征方程为
$$
r^n+p_1r^{(n-1)}+\cdots + p_{n-1}r+p_n = 0
$$
根据特征方程的解，其对应的微分方程的解如下：
| 特征方程的根 | 微分方程的对应解 |
|---|---|
| 单实根$r$ | 给出一项：$Ce^{rx}$ |
| 一对单复根$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$ | 给出两项$e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2 \sin \beta x)$ |
| $k$重实根$r$ | 给出$k$项 $e^{rx}(C_1+C_2x+\cdots +C_kx^{k-1})$ |
| 一对$k$重复根 | 给出$2k$项 $e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots +C_kx^{k-1})\cos \beta x +(D_1+D_2x+\cdots + D_kx^{k-1})\sin \beta x]$ |
课后作业
- 求下列微分方程的通解
$$
\begin{aligned}
&(1). y^{\prime \prime} +y^\prime -2y= 0 &&(2). 4\frac{d^2x}{dt^2}-20\frac{dx}{dt}+25x=0\\
&(3). y^{(4)}-y=0 &&(4). y^{(4)} - 2y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime} = 0
\end{aligned}
$$