几种常见的可降阶高阶微分方程
- $y^{(n)}=f(x)$型
对于这种类型，只需对方程两端不断求其积分，每求一次便可使其阶数降低一次
$$
\begin{equation*}
y^{(n-1)} = \int f(x)dx+C_1
\end{equation*}
$$
- $y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)$型
设$y^\prime= p$,则原方程变为$p^\prime = f(x,p)$，这是一个关于$x,p$的一阶方程，解其通解为$p=\varphi(x,C_1)$,则$y=\int p dx =\int \varphi(x,C_1)dx+C_2$
- $y^{\prime\prime} = f(y,y^\prime)$
同样进行换元,令$y^\prime = p$，则利用复合函数求导法则，有$y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$,这样原方程就变为$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$，这是一个关于$y,p$的一阶方程，解其通解为$y^\prime = p = \varphi(y,C_1)$,进一步对其分离变量两端积分，可得最重结果$\int\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2$
参考教材章节
- 7.5 可降阶的高阶微分方程
课后作业
- 求解下列微分方程的通解
$$
\begin{aligned}
&(1). y^{\prime\prime\prime} = xe^x &&(2). y^{\prime\prime} = 1+y^{\prime 2} &&(3). xy^{\prime\prime}+y^\prime = 0
\end{aligned}
$$
- 求解下列微分方程满足所给初值条件的特解
$$
\begin{aligned}
&(1). y^3y^{\prime\prime}+1=0,y(x=1)=1, y^\prime(x=1)=0\\
&(2). y^{\prime\prime} = e^{2y},y(x=0)=y^\prime(x=0)=0
\end{aligned}
$$