微积分19——齐次方程

Posted by Samson Yuen on 2023-12-13
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齐次方程

如果一阶微分方程可以化成
$$
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})
\end{equation*}
$$

则称这种形式的方程为齐次方程,在齐次方程中,令$\mu = \frac yx$,则$y = \mu x$, $\frac{dy}{dx}=\mu+x\frac{d\mu}{dx}$,故原方程变为

$$
\begin{equation*}
\mu+x\frac{d\mu}{dx} = \varphi(\mu)
\end{equation*}
$$

分离变量后两端积分,得到

$$
\begin{equation*}
\int \frac{d\mu}{\varphi(\mu)-\mu}= \int\frac{dx}{x}
\end{equation*}
$$

求出积分后,再用$\frac yx$代替$\mu$,便可得多给齐次方程的通解。

参考教材章节

  • 7.3 齐次方程

课后作业

1.解微分方程

$$
\begin{aligned}
&(1). x\frac{dy}{dx} = y\ln \frac yx &&(2). (x^2+y^2)dx-xydy = 0
\end{aligned}
$$





2.解微分方程

$$
\begin{aligned}
&(1). (y^2-3x^2)dy+2xydx = 0 ,y(x=0) = 1 \\ &(2). (x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy = 0,y(x=1)=1
\end{aligned}
$$





3.设友连接点$O(0,0)$与 $A(1,1)$的一段向上凸起的曲线 $OA$,对于 $OA$ 上的任意一点 $P(x,y)$,曲线弧 $OP$ 与直线线段$OP$所围成的面积为$x^2$,求曲线弧$OA$的方程.





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