反常积分的形式
无穷限的反常积分
$$
\begin{aligned}
&\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx
\end{aligned}
$$
无界函数的反常积分
$$
\begin{aligned}
&\int_a^bf(x)dx= \lim_{t\to b^-}\int_a^tf(x)dx &&f(x)在区间[a,b)上的反常积分\\
&\int_a^bf(x)dx= \lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx &&f(x)在区间(a,b]上的反常积分\\
\end{aligned}
$$
参考教材章节
- 5.4 反常积分
课后作业
- 当$k$ 为何值时，反常积分 $\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^k}$收敛？当$k$ 为何值时候，该积分收敛？又当$k$ 为何值时，该积分取得最小值？
- 计算反常积分$\int_0^1 \ln x dx$
- 利用递推公式计算反常积分$I_n = \int_0^{+\infty} x^ne^{-x}dx(x\in N)$