积分上限函数的求导
$$
\begin{aligned}
&积分上限函数求导的一般形式:\\
&\qquad \qquad \Phi(x) = \int_a^x f(t)dt,则\Phi^\prime(x) = f(x)\\
\\
&积分上限函数求导的变体1：\\
&\qquad \qquad \Phi(x) = \int_a^{g(x)} f(t)dt，则\Phi^\prime(x)= f^\prime[g(x)]g^\prime(x)\
\\
&积分上限函数求导的变体2：\\
&\qquad \qquad \Phi(x)=\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = \int_a^{g(x)} f(t)dt - \int_a^{h(x)} f(t)dt,则\Phi^\prime(x) = f^\prime[g(x)]g^\prime(x)-f^\prime[h(x)]h^\prime(x)\\
\end{aligned}
$$
微积分基本定理
$$
\begin{aligned}
&\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\\
\end{aligned}
$$
参考教材章节
- 5.2 微积分基本公式
课后作业
- 求下列函数的导数
$$
\begin{aligned}
&(1). \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^2}dt &&(2).\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3} \frac{dt}{\sqrt{1+t^4}}\\
&(3). \frac{d}{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)dt
\end{aligned}
$$
- 证明$f(x)=\int_1^x \sqrt{1+t^3}dt$在 $[-1,+\infty)$上是单调递增函数,并求 $(f^{-1})^\prime(0)$
- 计算下列定积分
$$
\begin{aligned}
&(1). \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{a^2+x^2} &&(2). \int_{-e-1}^2 \frac{dx}{x+1}\
&(3). \int_0^{2\pi}|\sin x|dx
\end{aligned}
$$