第二类换元法的理论基础
$$
\begin{aligned}
\int f(x)dx &\overset{令x=g(t)}{=} \int f[[g(t)]dg(t)=\int f[g(t)]g(t)^\prime dt.\\
&设F(t)^\prime = f[g(t)]g(t)^\prime,则\int f(x)dx= F(t)^\prime+C = F[g^{-1}(x)]+C\\
\end{aligned}
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基本积分表2
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\begin{aligned}
&[1]. \int \tan x dx = -\ln |\cos x|+C &&[2]. \int \cot xdx = \ln |\sin x|+C \\
&[3]. \int \sec x dx = \ln|\sec x+ \tan x|+C &&[4]. \int \csc xdx = \ln |\csc x- \cot x|+C\\
&[5]. \int \frac{dx}{a^2+x^2}= \frac1a \arctan \frac xa +C &&[6]. \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| +C\\
&[7]. \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= \arcsin \frac xa +C &&[8]. \int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}} = \ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\
&[9]. \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| +C\\
\end{aligned}
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参考教材章节
- 4.2 换元积分法
课后作业
- 求下列不定积分
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\begin{aligned}
&(1). \int \frac{x^3}{x^2+9}dx &&(2). \int \frac{dx}{2x^2-1}\\
&(3). \int \frac{dx}{x+\sqrt{1-x^2}} &&(4). \int \frac{x-1}{x^2+2x+3}dx\\
\end{aligned}
$$