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微积分30——拉格朗日乘数法

单个约束下的条件极值当我们想要计算函数$f(x_1,x_2\cdots x_n)$在超等势面$g(x_1,x_2\cdots x_n)=k$的约束下的极值，则其计算步骤为解方程组 $$ \begin{equation} \begin{cases} \nabla f(x_1,x_2\cdots x_n) &= \lambda \nabla g(x_1,x_2\cdots x_n......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分

微积分31——二重积分

参考教材章节《Calculus》 15.1 Double Intergrals over Rectangles 《Calculus》 15.2 Double Intergrals over General Regions 课后作业课后作业：计算 $\iint_D (xy) d\sigma$,其中$D$ 是由抛物线$y^2=x$ 及直线$y=x-2$ 所围成的闭区域. 画出积......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分

微积分32——极坐标下的重积分

极坐标下的重积分公式 $r$型区域当连续函数$z=f(x,y)$的积分区域可用极坐标表示为 $$ D = { (r,\theta)|\alpha \leq \theta \leq \beta, h_1( \theta )\leq r \leq h_2( \theta )} $$ 时候，则有 $$ \iint_D f(x,y) dA = \int_\alpha ^\beta \int_{h1......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分

微积分33——曲面面积

曲面面积公式函数$z=f(x,y)$在区域$D$内存在一阶连续偏导数，则该函数曲面在区域$D$内的表面积可有公式 $$ A(S) = \iint _ D \sqrt{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1}dA $$ 求得参考教材章节《Calculus》 15.5 Surface Area 课后作业求出抛物面$z=x^2+y^2$ 在$z=9$下方的表面积求出曲......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分

微积分34——重积分的换元法

二重积分的换元法设$f(x, y)$ 在 $x O y$ 平面上的闭区域 $D$ 上连续, 若变换 $$ T: x=x(u, v), y=y(u, v) $$ 将 $u O v$ 平面上的闭区域 $D^\prime$ 变为 $x O y$ 平面上的 $D$, 且满足 $x(u, v), y(u, v)$ 在 $D^{\prime}$ 上具有一阶连续偏导数; 在 $D^{\prime}$ ......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分

微积分35——含参变量的重积分

含参变量的积分积分$\int_c^d f(x,y) dy$的值会随着$x$的改变而改变，因此该积分是一个关于$x$的函数，即 $$ \begin{equation} \varphi(x) = \int_c^d f(x,y) dy \end{equation} $$ 上式中积分限 $c$ 与 $d$ 都是常数，但在实际应用中还会遇到对于参变量 $x$ 的不同的值,积分限也不同的情形,即 $$......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分

线性代数1——向量及其基本运算

参考教材章节无课后作业计算向量$v^T=[1,2,6]$与向量$\mu^T=[0,-1,2]$之间的距离计算与$v^T=[1,2,6]$同方向的单位向量若$\mu$向量到$v$向量之间的距离与其到$-v$向量之间的距离相等，试问：这两个向量是否是正交的？下载链接线性代数1——向量及其基本运算 ...

Posted by Samson Yuen on 2023-11-30

向量运算

线性代数2——线性空间的张成；线性无关

参考教材章节 1.3 向量方程 1.7 线性无关 2.8 $R^n$的子空间 2.9 维数与秩 4.1 向量空间与子空间 4.3 线性无关集和基 4.5 向量空间的维度课后作业求$h$的值，使下列向量得以线性相关 $$ v_1=\begin{bmatrix} 1\\-1\\4 \end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix} 3\\-5\\7 \end{bma......

Posted by Samson Yuen on 2023-11-29

线性空间

线性代数3——矩阵代数

参考教材章节 2.1 矩阵运算课后作业设$A=\begin{bmatrix} 2&5\\ -3&1 \end{bmatrix}$ 与 $B=\begin{bmatrix} 4&-5\\ 3&k \end{bmatrix}$，问$k$ 取什么值时，$AB=BA$ ? 设 $A=\begin{bmatrix} 3&-6\\ -1&......

Posted by Samson Yuen on 2023-11-28

线性代数4——线性方程组及其解的结构

参考教材章节 1.1 线性方程组 1.2 行化简与阶梯形矩阵 1.3 向量方程 1.4 矩阵方程$Ax=b$ 1.5 线性方程组的解集课后作业解下列方程组，并给出解集的几何解释 $$ \begin{aligned} \begin{cases} x_1+3x_2-5x_3 &= 4\\ x_1+4x_2-8x_3&= 7\\ -3x_1-7x_2+9x_3&......

Posted by Samson Yuen on 2023-11-27

线性方程组

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微积分30——拉格朗日乘数法

微积分31——二重积分

微积分32——极坐标下的重积分

微积分33——曲面面积

微积分34——重积分的换元法

微积分35——含参变量的重积分

线性代数1——向量及其基本运算

线性代数2——线性空间的张成；线性无关

线性代数3——矩阵代数

线性代数4——线性方程组及其解的结构

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