朝命而夕饮冰

三尺微命 一介书生 光阴虚度 学问无成

微积分19——齐次方程

齐次方程 如果一阶微分方程可以化成 $$ \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x}) \end{equation*} $$ 则称这种形式的方程为齐次方程，在齐次方程中，令$\mu = \frac yx$,则$y = \mu x$, $\frac{dy}{dx}=\mu+x\frac{d\mu}{dx}$,故原方程变为 $$ \......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-13

常微分方程

微积分20——一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 方程 $$ \begin{equation} y^\prime+P(x)y = Q(x) \qquad\qquad\qquad (1) \end{equation} $$ 称为一阶线性微分方程，如果$Q(x)\equiv 0$，则称该方程是齐次的，否则称为非齐次的。对于齐次方程$\frac{dy}{dx}+P(x)=0$，对其分离变量后两端积分，得 $$ \begin{eq......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-12

常微分方程

微积分21——可降阶的高阶微分方程

几种常见的可降阶高阶微分方程 $y^{(n)}=f(x)$型 对于这种类型，只需对方程两端不断求其积分，每求一次便可使其阶数降低一次 $$ \begin{equation*} y^{(n-1)} = \int f(x)dx+C_1 \end{equation*} $$ $y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)$型 设$y^\prime= p$,则原方程变为$p^......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-11

常微分方程

微积分22——常系数齐次线性微分方程

函数组的线性相关性 设 $y_1(x),y_1(x)\cdots y_n(x)$ 为定义在区间$I$上的$n$个函数，如果存在$n$个不全为零的常数$k_1,k_2 \cdots k_n$,使得当$x\in I$时恒有 $$ \begin{equation*} k_1y_1+k_2y_2 + \cdots + k_ny_n \equiv 0 \end{equation*} $$ 成立，则称该......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-10

常微分方程

微积分23——多元函数的极限与连续性

参考教材章节 《Calculus》 14.1 Functions of Several Variables 《Calculus》 14.2 Limits and Continuity 课后作业 设$f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4}$,问$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ 是否存在？ 请证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-09

多元微积分

微积分24——偏导数

参考教材章节 《Calculus》 14.3 Partial Derivatives 课后作业 求出由隐函数$x^3+y^3+z^3+6xyz=1$所确定的多元函数的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 求出下列函数的偏导数 $$ \begin{aligned} &(1). F(......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-08

多元微积分

微积分25——切平面与可微性

切平面的推导 若函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y,z)$处存在偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$，则由其偏导数切线确定且包含$z=f(x,y)$上任一经过点$P(x,y,z)$的曲线的切线的平面称为函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y,z)$的切平面。函数在某点存在切平面，则意味着其在该......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-07

多元微积分

微积分26——多元复合函数求导

多元复合函数求导的两种基本类型 多元函数与一元函数的复合 设$z=f(x,y)$是关于$x,y$的函数且具有连续偏导数，其中$x=h(t),y=g(t)$是关于$t$的可导函数，则函数$z=f(h(t),g(t))$关于$t$可导且 $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-06

多元微积分

微积分28——梯度与方向导数

梯度的几何意义 设三元函数的等势面$F(x,y,z)=k$上有一点$P(x_0,y_0,z_0)$,现有过点$P$且存在于该等势面上的某曲线$C$,其方程用向量函数表示为$r(t)=<x(t),y(t),z(t)>$。又设当$t=t_0$时有$r(t_0)=P(x_0,y_0,z_0)$。由于$C$位于等势面上，故$C$上的任意一点$(x(t),y(t),z(t))$必定满足等势......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分

微积分29——多元函数的极值

多元函数极值存在的判断条件 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某领域内存在连续的二阶偏导数且$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$（$x_0,y_0$为驻点）,则设 $$ D = D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2 $$ a) 如果$D>0$并且$f_{......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-04

多元微积分
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天地者 万物之逆旅 光阴者 百代之过客 而浮生若梦 为欢几何？

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