朝命而夕饮冰

三尺微命 一介书生 光阴虚度 学问无成

微积分9——不定积分1：定义和性质

基本积分表1 $$ \begin{aligned} &[1].\quad \int k dx = kx+C &&[2]. \quad \int x^\mu dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C (\mu\neq -1)\\ &[3]. \quad \int \frac{dx}{x}dx = \ln |x|+C &&......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-23

单变量 不定积分

微积分10——不定积分2：第一类换元法

第一类换元法的理论基础 $$ \int f[g(x)]g(x)^\prime dx = \int f[g(x)]dg(x) = \int f(\mu)d\mu = F(\mu)+C = F[g(x)]+C $$ 参考教材章节 4.2 换元积分法（第一类换元法） 课后作业 求下列不定积分 $$ \begin{aligned} &(1).\int\frac{2\cdot 3^x-......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-22

单变量 不定积分

微积分11——不定积分3：第二类换元法

第二类换元法的理论基础 $$ \begin{aligned} \int f(x)dx &\overset{令x=g(t)}{=} \int f[[g(t)]dg(t)=\int f[g(t)]g(t)^\prime dt.\\ &设F(t)^\prime = f[g(t)]g(t)^\prime,则\int f(x)dx= F(t)^\prime+C = F[g^{-1}(x......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-21

单变量 不定积分

微积分12——不定积分4：分部积分法

分部积分公式 $$ \int \mu\nu^\prime dx = \mu \nu - \int \mu^\prime\nu dx $$ 参考教材章节 4.3 分部积分法 课后作业 $$ \begin{aligned} &(1). \int (x^2-1)\sin 2x dx &&(2). \int \frac{\ln^3 x}{x^2}dx\\ &(3)......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-20

单变量 不定积分

微积分13——定积分1：概念与性质

定积分的本质 $$ \begin{aligned} \int_a^b f(x)dx &= \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \\ \lambda &= \max{\Delta x_1,\Delta x_2,\Delta x_1,\cdots, \Delta x_n} \\ \end{aligned} $......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-19

单变量 定积分

微积分14——定积分2：微积分基本原理

积分上限函数的求导 $$ \begin{aligned} &积分上限函数求导的一般形式:\\ &\qquad \qquad \Phi(x) = \int_a^x f(t)dt,则\Phi^\prime(x) = f(x)\\ \\ &积分上限函数求导的变体1：\\ &\qquad \qquad \Phi(x) = \int_a^{g(x)} f(t)dt，则\......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-18

单变量 定积分

微积分15——定积分3：定积分的换元法与分部积分法

定积分的换元法 第一类换元法 $$ \begin{aligned} &第一类换元法的一般形式：\\ & \quad \quad \int_a^b f[g(x)]g^\prime(x)dx \overset{令g(x)=\mu}{=} \int_{g(a)}^{g(b)} f(\mu) d\mu = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx\\ \\ &第一......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-17

单变量 定积分

微积分16——定积分4：反常积分

反常积分的形式 无穷限的反常积分 $$ \begin{aligned} &\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx \end{aligned} $$ 无界函数的反常积分 $$ \begin{aligned} &\int_a^bf(x)dx= \lim_{t\to b^-}\int_a^tf(x......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-16

单变量 定积分

微积分17——微分方程的概念

参考教材章节 7.1 微分方程的基本概念 课后作业 1.解下列微分方程 $$ \begin{aligned} &(1). y=(C_1+C_2x)e^{2x},y(x=0) = 0,y^\prime(x=0) = 1 \\ &(2). y=C_1\sin(x-C_2),y(x=\pi)=1,y\prime(x=\pi) = 0 \end{aligned} $$ 2.曲线......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-15

常微分方程

微积分18——可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程 $$ \begin{equation*} h(y)dy = g(x)dx \Rightarrow \int h(y)dy = \int g(x)dx \Rightarrow H(y)=G(x)+C \Rightarrow y= H^{-1}(G(x)+C) \end{equation*} $$ 参考教材章节 7.2 可分离变量的微分方程 课后作业 1.解下列微分方......

Posted by Samson Yuen on 2023-12-14

常微分方程
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天地者 万物之逆旅 光阴者 百代之过客 而浮生若梦 为欢几何？

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